CONDICIONES DE FRONTERA E INICIALES

Sólo se necesita una condición inicial para un problema de conducción de calor, sin importar la dimensión, ya que la ecuación de la conducción es de primer orden en el tiempo (contiene la primera derivada de la temperatura con respecto al tiempo). En coordenadas rectangulares, la condición inicial se puede especificar en la forma general como:

T(x, y, z, 0) f(x, y, z)

1.- Condición d frontera de temperatura específica 

Las condiciones témicas sobre una superficie es mediante la temperatura, por ejemplo:
Para una transferencia unidimensional de calor a través de una pared plana de espesor L. las condiciones en la frontera de temperatura específica se expresa de la siguiente manera:

donde T1 y T2 son las temperaturas específicas en las superficies en x 0 y x L, respectivamente. Las temperaturas específicas pueden ser constantes, como en el caso de la conducción estacionaria de calor, o pueden variar con el tiempo.

2.- CONDICIÓN DE FRONTERA DE FLUJO ESPECÍFICO DE CALOR 

Cuando existe información suficiente acerca de las interacciones de energía en una superficie, puede ser posible determinar la velocidad de transferencia de calor y, por lo tanto, el flujo de calor, q · (velocidad de transferencia de calor por unidad de área superficial, W/m2 ), sobre esa superficie, y se puede usar esta información como una de las condiciones en la frontera, y se expresa

Entonces se obtiene la condición de frontera, en una de las fronteras, al hacer el flujo específico de calor igual a k( T/ x) en esa frontera.

CASOS ESPECIALES :

A) Caso especial frontera aislada 

El aislamiento reduce la transferencia de calor pero no lo elimina en su totalidad, a menos que su espesor sea infinito. Sin embargo, la transferencia de calor a través de una superficie apropiadamente aislada se puede tomar como cero, ya que el aislamiento adecuado reduce la transferencia de calor a través de una superficie a niveles despreciables. 

B) Simetría térmica

Algunos problemas de transferencia de calor poseen simetría térmica como resultado de la simetría en las condiciones térmicas impuestas. Por ejemplo, las dos superficies de una placa grande caliente, de espesor L, suspendida verticalmente en el aire, estarán sujetas a las mismas condiciones térmicas y, por lo tanto, la distribución de temperatura en una de las mitades de ella será igual a la de la otra mitad. Es decir, la transferencia de calor en esta placa poseerá simetría térmica con respecto al plano central en x L/2.

3.- condiciones de convección de frontera

Es probable que la convección sea la condición de frontera más común encontrada en la práctica, ya que la mayor parte de las superficies de transferencia de calor están expuestas a un medio y a una temperatura específica. La condición de convección de frontera se basa en un balance de energía superficial expresado como

La mayor parte de las superficies de transferencia de calor están expuestas a un medio y a una temperatura específica

  

4.- Condiciones de radiación de frontera

 En esos casos la radiación se convierte en el único mecanismo de transferencia de calor entre la superficie y los alrededores. Utilizando un balance de energía, la condición de radiación de frontera sobre una superficie se puede expresar como

Para una transferencia unidimensional de calor en la dirección x, en una placa L, las condiciones de radiación de frontera sobre ambas superficies se pueden expresar como:

5.- Condiciones de frontera en la interfase

Las condiciones de frontera en una interfase se basan en los requisitos de que los dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto y una interfase no puede almacenar energía y, por lo tanto, el flujo de calor sobre ambos lados de la interfase debe ser el mismo. Las condiciones de frontera en la interfase de dos cuerpos A y B, en contacto perfecto en x =x0 se pueden expresar como:

6.- Condiciones de frontera generalizada

Una superficie puede comprender convección, radiación y flujo especificado de calor simultáneamente. En estos casos se obtiene una vez más la condición de frontera a partir de un balance de energía superficial, expresado de la siguiente manera:

ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR

Aún cuando la transferencia de calor y la temperatura están íntimamente relacionadas, son de naturaleza diferente. A diferencia de la temperatura, la transferencia de calor tiene dirección así como magnitud y, por lo tanto, es una cantidad vectorial y tiene una o mas dimensiones (x,y,z), si se escoge como incógnita al tiempo, la notación es:

                                                              T(x, y, z, t) 


Ejemplo:

La conducción de calor se produce:

• Unidimensional
• Bidimensional
• Tridimensional

Ejemplo:

Los problemas de transferencia de calor se clasifican en los siguientes regímenes: 

1. RÉGIMEN ESTACIONARIO

Los valores de las fronteras son constantes y no varían en el tiempo.

2. RÉGIMEN TRANSITORIO

Los valores de las fronteras no son constantes y pueden varían en el tiempo.

Transferencia de calor multidimensional:

• UNIDIMENSIONAL

Si la variación de temperatura es despreciable en 2 ejes. 

• BIDIMENSIONAL

Si la variación de temperatura es despreciable en 1 eje.

• TRIDIMENSIONAL

Si la variación de temperatura no es despreciable en ninguno de los 3 eje.

Generación de calor:

En un medio a través del cual se transfiere calor puede tenerse la conversión de energíamecánica, eléctrica, nuclear o química en calor (o energía térmica). En el análisis de la conducción de calor, esos procesos de conversión son caracterizados como generación de calor (o de energía térmica), la velocidad de generación de calor esta dada por unidad de volumen y sus unidades son : 

 W/m*s

Ejemplo:

• GENERACIÓN DE CALOR EN TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONALES 

• GENERACIÓN DE CALOR EN TRANSFERENCIA DE CALOR BI Y TRIDIMENSIONALES 

Ecuación de conducción de calor unidimensional para pared plana.

Balance de energía: 

Dado que el área A es constante para una pared plana, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en una pared de ese tipo queda

• CONDUCTIVIDAD VARIABLE     

• CONDUCTIVIDAD CONSTANTE 

• ECUACIÓN PARA RÉGIMEN ESTACIONARIO

• RÉGIMEN ESTACIONARIO SIN GENERACIÓN DE CALOR

• RÉGIMEN TRANSITORIO SIN GENERACIÓN DE CALOR  

NOTA:

ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL COMBINADA DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR

Se llegó a la conclusión que las ecuaciones unidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera, revela que las tres se pueden expresar en una forma general como:

donde:

n =0 para una pared plana (la variable se la reemplaza por "x")




n =1 para un cilindro 




n =2 para una esfera

Ecuación general de la conducción de calor

Considere un pequeño elemento rectangular de longitud x, ancho y, y altura z. Suponga que la densidad del cuerpo es r y el calor específico es c. Un balance de energía sobre este elemento, durante un pequeño intervalo de tiempo t, para el caso de conductividad térmica constante y sin generación de calor,se puede expresar como:

Existen 3 tipos de casos que se dan para utilizar en la ecuación general de la conducción de calor:

• Régimen estacionario (Ecuación de Poisson)

• Régimen transitorio, sin generación de calor (Ecuación de difusión)

• Régimen transitorio, sin generación de calor (Ecuación de Laplace)

NOTA:
Las ecuaciones tridimensionales de conducción de calor se reducen a las unidimensionales cuando la temperatura varía solo en una dimensión.

Métodos de estimación para conductividad térmica

Ley de Fourier de transmición de calor

(Segunda clase)

LEY DE FOURIER DE TRANSMISIÓN DE CALOR

La conducción de calor o transmisión de calor por conducción es un proceso de transmisión de calor basado en el contacto directo entre los cuerpos, sin intercambio de materia, por el que el calor fluye desde un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura que está en contacto con el primero. La propiedad física de los materiales que determina su capacidad para conducir el calor es la conductividad térmica. La propiedad inversa de la conductividad térmica es la resistividad térmica, que s la capacidad de los materiales paa oponerse al paso de calor.
La transmisión de calor por conducción, entre dos cuerpos entre diferentes partes de un cuerpo, es le intercambio de energía interna, que es una combinación de la energía cinética y energía potencial de sus partículas microscópicas. moléculas, átomos y electrones. La conductividad térmica de la materia depende de su estructura microscópica en un fluido se debe principalmente a colisiones aleatorias de las moléculas; en un sólido depende del intercambio de electrones libres principalmente en metales o de los modos de vibración de sus partículas microscópicas dominantes en los materiales no metálicos.

Para el caso simplificado de flujo de calor estacionario en una sola dirección, el calor transmitido es proporcional al área perpendicular al flujo de calor, a la conductividad del material y a la diferencia de temperatura, y es inversamente proporcional al espesor.

La ecuación que describe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, en este caso el campo Ψ es la temperatura T, y el coeficiente α=K/(ρc), donde K, es la conductividad térmica, ρ la densidad, y c es el calor específico del material. La conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos de una barra metálica.

Se estudia cada uno de los fenómenos en dos partes:

• Se calcula la solución de la ecuación diferencial que gobierna el proceso.
• Se simulan los fenómenos a partir de mecanismos básicos simples. La simulación nos permitirá explicar las facetas esenciales de la descripción matemática del fenómeno en cuestión.

NOTA: Siempre va a pasar del cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de menor temperatura

q=Energía/ área*tiempo

La ley de Fourier puede expresarse en términos deflujo de calor,. El flujo de calor se define como la velocidad de transmisión de calor por unidad de área perpendicular a la dirección del flujo. La velocidad de transmisión de calor se denomina también potencia.

De la ecuación anterior podemos decir que: En medios homogéneos e Isótropos, la máxima velocidad de transmisión por conducción se produce en la dirección del gradiente de temperatura, por que la densidad del flujo de calor y el gradiente de temperatura son vectores colineales.

En medios homogéneos pero anisótropos, la máxima velocidad de transmisión por conducción no se produce en la dirección del gradiente de temperatura, porque la dirección de la densidad del flujo de calor y del gradiente de temperatura no son en general coincidentes.

En general el coeficiente de conductividad de una sustancia depende de la presión y la temperatura. Para los gases κ aumenta con la temperatura, mientras que en los líquidos y sólidos puede aumentar o disminuir.

La cantidad de calor transferido por conducción en una dirección dada es proporcional al área que va el flujo de calor y a cómo disminuye la temperatura en dicha dirección. Es decir, que la cantidad de calor que se va a perder depende de la superficie del material en contacto con ese flujo y de lo mucho o poco que disminuya la temperatura en dicha dirección. La constante de proporcionalidad es la conductividad térmica.
La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier. Establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección.

• 

Donde:

1.  es la tasa de flujo de calor que atraviesa el área A en la dirección x
2.  (o λ) es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica
3.  es la temperatura.
4. el tiempo.